Tetris

Mediante un criterio de paridad similar al utilizado en semanas anteriores para abordar el problema del tablero de ajedrez mutilado y sus variantes, podemos demostrar fácilmente que con los cinco tetrominós libres no se puede formar un rectángulo de 4 x 5, tal como nos preguntábamos la semana pasada. Efectivamente, si dividimos el rectángulo de 4 x 5 en 20 casillas cuadradas de 1 x 1 y las coloreamos alternativamente en blanco y negro, como en un tablero de ajedrez, tendremos, obviamente, 10 casillas blancas y 10...

Mediante un criterio de paridad similar al utilizado en semanas anteriores para abordar el problema del tablero de ajedrez mutilado y sus variantes, podemos demostrar fácilmente que con los cinco tetrominós libres no se puede formar un rectángulo de 4 x 5, tal como nos preguntábamos la semana pasada. Efectivamente, si dividimos el rectángulo de 4 x 5 en 20 casillas cuadradas de 1 x 1 y las coloreamos alternativamente en blanco y negro, como en un tablero de ajedrez, tendremos, obviamente, 10 casillas blancas y 10 negras; pero si hacemos lo mismo con las piezas del tetrominó, vemos que en todas ellas hay 2 casillas blancas y 2 negras menos en la pieza T, que tiene 3 de un color y 1 de otro; por tanto, en total tenemos, en los tetrominós, 9 casillas de un color y 11 de otro, por lo que es imposible componer con ellas un rectángulo en el que ha de haber 10 de cada color.

El mismo razonamiento demuestra que es imposible formar un rectángulo de 4 x 7 con los tetrominós del Tetris, ya que también en este caso todas las piezas tienen 2 casillas de cada color menos la T.

Con dos juegos de tetrominós libres, sin embargo, podemos colorear las casillas de ambas T de forma complementaria: una T con 3 casillas blancas y 1 negra, y la otra con 3 casillas negras y 1 blanca, como lo que tendremos 20 de cada color, igual que los rectángulos de 5 x 8 y 4 x 10, por lo que, en principio, el recubrimiento es posible (aunque sería más exacto decir que no es imposible). De hecho, ambas construcciones son posibles, así que mis sagaces lectoras/es pueden entretenerse en buscarlas sabiendo que su intento no es vano. Y el mismo razonamiento de la T repetida vale para la posibilidad de construir rectángulos de 7 x 8 o 4 x 14 con dos juegos de tetrominós del Tetris.

En cuanto a la posibilidad de recubrir el tablero mutilado con 21 trominós del tipo I, el mismo lector que señaló la condición necesaria para tal recubrimiento ha añadido una condición más restrictiva que, esta sí, además de necesaria es suficiente (ver comentario 1 de la semana pasada).

El azar y la habilidad

El videojuego Tetris puede considerarse una versión dinámica y acumulativa de los problemas anteriores, ya que se trata de encajar los tetrominós en un marco rectangular de manera compacta, sin que queden huecos (o los menos posibles). Y como las piezas van “cayendo” de forma aleatoria, aunque la habilidad es determinante, también interviene el azar y, en casos extremos, un jugador lo podría tener muy fácil o muy difícil.

¿Cuál es la secuencia de caída de piezas que más facilita su colocación? ¿Cuál es la que más la dificulta?

Si se produjera una lluvia continua de tetrominós todos del tipo S, o todos del tipo Z, ¿cuánto aguantaría, como máximo, el jugador más hábil? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca un final inevitable debido a una lluvia continua de tetrominós iguales?

Otra manera de abordar la misma cuestión: ¿Cuál sería la partida de Tetris más corta si el jugador no cometiera ningún fallo y la velocidad de caída no fuera en aumento?

Invito a mis sagaces lectoras/es a plantearse estas y otras cuestiones relativas al papel del azar en el desarrollo de una partida de Tetris.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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