Cómo estudiar sistemas de muchas dimensiones

Vivimos en un mundo de tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal. Esto significa que, para determinar una ubicación exacta en la Tierra en cierto momento, solo necesitamos cuatro valores: las tres coordenadas —latitud, longitud y altitud—, y una marca de tiempo. En el universo matemático, el concepto de dimensión es mucho más general y es habitual trabajar con sistemas de muchas dimensiones o incluso dimensión infinita.

Esta noción no tiene nada que ver con la idea —tan cultivada en la ciencia ficción— de universos paralelos, donde se desarrolla una realidad alternativa ajena a nuestra percepción. Matemáticamente, las dimensiones son un constructo teórico que describe, simplemente, diversas facetas de algo. En la mecánica —la rama de la física que estudia el movimiento y las fuerzas que lo generan—, las dimensiones son la cantidad de información necesaria para describir un sistema. Por ejemplo, un péndulo puede verse como un sistema —llamado espacio de fases— de dos dimensiones, ya que para describir el movimiento del péndulo en cualquier instante solo hace falta conocer el ángulo que forma la cuerda con respecto a la vertical y la velocidad —o el momento—.

Para describir sistemas físicos más complejos, con más cuerpos o con más iteraciones, es necesario recurrir a espacios de fases más complicados, como los que modelizan un sistema planetario, por ejemplo. Estos espacios tienen una estructura geométrica concreta, llamada variedad simpléctica. Estudiar estas variedades y sus propiedades ha sido un tema de interés en diversas áreas de la matemática y la física, entre ellas, la llamada mecánica geométrica.

La mecánica geométrica trata de las aplicaciones de la geometría a la mecánica y permite reducir complicados sistemas de muchas dimensiones —como las variedades simplécticas— a otros con los que es más fácil trabajar, ya que, en lugar de observar cada interacción o movimiento de forma separada, se observan las características globales del sistema y se hace uso de ellas para transformar el problema en otro más sencillo.

Para ello, el primer paso es identificar las “simetrías” del sistema, es decir, las transformaciones que lo dejan invariante. Con ellas, es posible reducirlo y así estudiarlo de forma más sencilla, tal y como proponía Emmy Noether en su famoso teorema. Si el teorema de Noether relaciona cada simetría del sistema con una cantidad conservada, la llamada aplicación momento, incorpora, a la vez, todas estas relaciones —simetría/cantidad conservada— del sistema.

A principios de la década de 1980, varios investigadores se dieron cuenta de que, además, esta aplicación permitía traducir el espacio de fases en un objeto más sencillo, llamado politopo, que son la generalización a cualquier dimensión de los polígonos. Estas formas tan sencillas —y discretas— permitían, por tanto, interpretar propiedades de sistemas muy complicados. Funcionan de forma parecida a Google Maps: ofrecen una imagen, plana y muy fácil de entender, para representar un mundo, complejo y con más dimensiones, al que nos enfrentamos.

Un ejemplo de politopo es el rectángulo de la imagen inferior. Representa un sistema formado por tres objetos que se mueven en relación los unos con los otros, en un espacio de ocho dimensiones. En particular, indica cuándo estos tres objetos se mueven de manera alineada, en ángulo recto y cuándo el espacio reducido del sistema —es decir, el que obtenemos tras aplicar nuestro conocimiento sobre las simetrías— es una esfera u otra forma geométrica. Además, muestra cuando los tres cuerpos se mueven de una manera estable o más caótica.

Este politopo, propuesto en resultados recientes de investigación, está relacionado con sistemas que aparecen en investigación en robótica, termodinámica y teoría de campos multidimensional. Efectivamente, uno de los motivos del éxito de la mecánica geométrica es que tiene numerosas aplicaciones: se usa para el diseño de misiones interplanetarias, en anatomía computacional, en el diseño de vehículos submarinos, de satélites, en robótica, en telecomunicaciones, en el estudio del calentamiento global... La lista es enorme.

Amna Shaddad es investigadora Marie Curie en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Ágata Timón G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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