La excepción y la regla

El timbiriche o juego de “puntos y cajas”, del que hablábamos la semana pasada, es más difícil de analizar de lo que sugiere su sencillo aspecto de pasatiempo infantil. Es tentador proponer, como hace Luca Tanganelli, la estrategia, para el segundo jugador, de trazar en cada turno el segmento simétrico -con respecto al centro del tablero- del trazado por el primero; pero esta estrategia, que funciona en otros juegos similares (como el de recubrir el tablero de ajedrez con fichas de dominó...

El timbiriche o juego de “puntos y cajas”, del que hablábamos la semana pasada, es más difícil de analizar de lo que sugiere su sencillo aspecto de pasatiempo infantil. Es tentador proponer, como hace Luca Tanganelli, la estrategia, para el segundo jugador, de trazar en cada turno el segmento simétrico -con respecto al centro del tablero- del trazado por el primero; pero esta estrategia, que funciona en otros juegos similares (como el de recubrir el tablero de ajedrez con fichas de dominó), en este caso falla, como muestra un sencillo contraejemplo enviado por Salva Fuster, que comenta: “Creo que la argumentación de la jugada simétrica tiene su interés, pero me parece que la estrategia consiste en controlar la paridad de las cadenas de longitud mayor que 2. Creo que es una buena idea empezar por analizar el tablero de 4x4 puntos, es decir, de 9 casillas”.

Si el segundo jugador (azul) juega simétricamente, como se muestra en la figura, en su siguiente turno cierra el cuadradito central y pierde, pues acto seguido ha de trazar otro segmento que permitirá al rojo cerrar los ocho cuadraditos restantes. Descartada, pues, la estrategia simétrica, invito a mis sagaces lectoras/es a seguir jugando con los puntos y las cajas en busca de alguna generalización operativa.

Una refutación demoledora

En matemáticas, la excepción no confirma la regla (por cierto, ¿qué sentido tiene la conocida expresión “la excepción que confirma la regla”?), sino que la anula: basta un contraejemplo para invalidar una teoría, y el sencillo caso que acabamos de ver en relación con el timbiriche nos lleva a pensar en ilustres y demoledoras refutaciones que han supuesto hitos en la evolución de la ciencia y del pensamiento.

En este sentido, uno de los incidentes más famosos fue el protagonizado por Bertrand Russell y Gottlob Frege a principios del siglo pasado. Tras veinte años de trabajo, en 1902 Frege había terminado el segundo volumen de su obra Las leyes fundamentales de la aritmética, con la que pretendía dar a la matemática un sólido fundamento lógico a partir de la teoría de conjuntos. El libro estaba ya en imprenta cuando Frege recibió una carta de Russell en la que le comunicaba que había encontrado una paradoja en la teoría de conjuntos. A Frege solo le dio tiempo de insertar, al final de su libro, una nota con ribetes de esquela funeraria: “Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver derrumbarse los cimientos de su obra justo al terminarla. La carta del señor Bertrand Russell me ha puesto en esa tesitura”.

Conceptualmente equivalente a la paradoja del barbero (en un pueblo hay un barbero que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo el barbero?), la paradoja de Russell es la siguiente:

Llamemos normales a los conjuntos que no se contienen a sí mismos y anormales a los que se contienen a sí mismos. El conjunto de todos los conjuntos normales ¿es normal o anormal? Si es normal, debe contenerse a sí mismo (puesto que contiene todos los conjuntos normales), y por tanto es anormal, y si es anormal no debe contenerse a sí mismo, luego es normal…

Invito a mis sagaces lectoras/es a encontrar una versión más convincente y ajustada de la paradoja de Russell que la del barbero; por ejemplo, una versión biblioteconómica que involucre libros y catálogos (aunque cualquier otra versión será bien recibida).

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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