Un matemático con mucho jazz

El pasado mes de febrero falleció Isadore Manuel Singer, profesor emérito del Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT) y ganador del Premio Abel. Su contribución más relevante, el teorema del índice de Atiyah-Singer, propone una profunda relación entre la topología, la geometría y el análisis, cuyas ramificaciones llegan incluso a la física teórica. Más allá de las matemáticas, Singer fue miembro del Consejo Científico de la Casa Blanca y dirigió el Comité de Ciencia y Políticas Públicas de la Academia de Ciencias estadounidense, donde trató temas como el manejo de los residuos nucleares o la privacidad en la era de la informática, adelantándose casi 20 años a su época.

Singer nació en 1924 en una familia muy humilde de inmigrantes polacos; su padre era pintor y su madre, “la persona más inteligente que conoció en su vida” –según el propio Singer–, costurera. Durante la Gran Recesión y los años posteriores, la familia padeció severas estrecheces económicas y Singer tuvo que compaginar varios trabajos para costearse su formación. Aunque consiguió una beca para estudiar Física en la Universidad de Michigan (EE UU), para subsistir revendía las entradas de fútbol que conseguía gratis por ser estudiante.

En 1944, tras finalizar la carrera en tan solo dos años y medio, se trasladó a Filipinas como operador de radar del ejército estadounidense. Por las noches, mientras sus compañeros se desplumaban al póker, él trataba de entender la relatividad general y la mecánica cuántica siguiendo los cursos por correspondencia de Geometría y Teoría de Grupos que ofertaba la Universidad de Chicago.

Singer provenía de una familia muy humilde. En la universidad, subsistía revendiendo las entradas de fútbol que le regalaban por ser estudiante

Frustrado, a su vuelta de Filipinas en 1947, decidió matricularse en un curso de matemáticas de esa misma universidad. Tras un año de máster, la disciplina le cautivó; sintió que “era su campo” y decidió hacer el doctorado con el analista Irving Segal, quien se convertiría en uno de sus referentes –el otro sería Shiing-Shen Chern a quien conocería en su último año en Chicago–. En 1950 terminó su tesis y se trasladó al MIT como postdoc; allí desarrollaría gran parte de su carrera.

El mismo día que llegó al MIT se sintió en casa, algo que no había sucedido en muchos años. En la secretaría del departamento, Singer conoció al también matemático Warren Ambrose y de forma inmediata comenzó su amistad y colaboración, que duraría toda la vida. Casi todas las noches se encontraban en la cafetería Hayes-Bickford para hablar de matemáticas con un entusiasmo contagioso. Otras veces se refugiaban en clubes de jazz donde, si tenían suerte, podían escuchar a Ella Fitzgerald o tomar café con Billie Holliday entre bambalinas. A pesar de todo, no fue una época fácil para Singer, pues su hijo había nacido con serios problemas de salud. Singer nunca se cansó de reconocer que no hubiera sobrevivido como matemático sin el apoyo constante de Ambrose.

La colaboración dio sus frutos: Ambrose y Singer revolucionaron la enseñanza de la geometría diferencial en el MIT y en 1953 publicaron un teorema que relacionaba la curvatura con la holonomía y que determinaría el desarrollo de la geometría diferencial en las siguientes décadas.

La colaboración entre Ambrose y Singer dio lugar a un teorema que marcaría el desarrollo de la geometría diferencial en las décadas posteriores

Sin embargo, su colaboración más fructífera fue con Michael Atiyah, a quien había conocido en 1955 en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EE UU). Como todos, Singer no había podido resistirse a la mezcla portentosa de brillantez, entusiasmo contagioso y energía que caracterizaban a Atiyah y que harían de él uno de los matemáticos más célebres del siglo XX. En 1962 Singer solicitó un año sabático en el MIT, y decidió instalarse en Oxford para trabajar con Atiyah. Nada más recibirlo, el inglés le lanzó una pregunta: “¿Por qué el Â-género es un número entero para variedades spin?”. Aunque Atiyah conocía la respuesta, presentía que había una razón más profunda. La cuestión intrigó tanto a Singer que se puso a trabajar de inmediato en el problema.

El Â-género de un espacio geométrico es un polinomio cuyos coeficientes son números racionales y sus variables indeterminadas vienen dadas por ciertos invariantes topológicos. Como se opera con números racionales, se esperaría que, tras realizar todos los cálculos, el Â-género fuera un número racional. Sin embargo, a principios de los años sesenta, los matemáticos habían empleado técnicas muy sofisticadas de la topología algebraica para probar que para una clase muy concreta de espacios geométricos –las variedades spin–, sorprendentemente, el Â-género es un número entero.

En febrero de 1962, Singer conjeturó que este número entero debería ser la resta de dos números naturales que cuentan objetos matemáticos. Gracias a su formación en análisis, Singer se dio cuenta de que en realidad estaban contabilizando soluciones de ecuaciones diferenciales, expresadas como operadores geométricos. En marzo, Singer anunció a Atiyah su descubrimiento: el Â-género surge al contar el número de soluciones del operador de Dirac generalizado a variedades spin.

Consiguieron dar una fórmula explícita para calcular un invariante topológico y generalizaron el Â-género que les había servido como guía

A partir de ese momento, dedicaron los siguientes 18 meses a formalizar uno de los teoremas fundamentales del siglo XX: el teorema del índice. Atiyah aportó sus profundos conocimientos de topología y geometría algebraica, y Singer los suyos de análisis y geometría diferencial. El enunciado final asegura que, dada una ecuación diferencial de cierto tipo, su índice –la diferencia entre el número de parámetros necesarios para describir sus soluciones y el número de relaciones impuestas por la ecuación diferencial– es un invariante topológico. Quizás lo más importante fue que consiguieron dar una fórmula explícita para calcularlo en términos de objetos topológicos bien conocidos, generalizando el Â-género que les había servido como guía.

Más que un teorema, el resultado es una teoría. Durante veinticinco años, Atiyah y Singer encontraron nuevas demostraciones que proporcionaban nuevos enfoques y exploraron sus ramificaciones, especialmente en relación con las teorías gauge en física. Por tanto, no es de extrañar que Atiyah y Singer ganaran el Premio Abel en el año 2004, quizás el más prestigioso de la imponente lista de los premios que Singer recibió a lo largo de su carrera.

Singer comparó su colaboración con Michael Atiyah con la canción de Cole Porter “Anything Goes” (todo vale). Sin embargo, los que le conocieron coinciden en que esa descripción se ajustaba al enfoque de las matemáticas del propio Singer. Al final, Singer era único por su estilo directo, improvisado y con facilidad para dejarse llevar por el problema y por la intuición. Puro jazz.

David Fernández Álvarez es investigador posdoctoral en la Universidad de Bielefeld (Alemania)

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G-Longoria (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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