No hace falta efectuar complejos cálculos para comprobar, como se preguntaba la semana pasada, si la raíz quinta de 5 es mayor o menor que la raíz cuadrada de 2. Basta con elevar ambas cantidades a la décima potencia, con lo que obtendremos, respectivamente, 5² = 25 y 2² = 32, de donde se desprende que √2 es mayor que la raíz quinta de 5.

Análogamente, para comparar la raíz cuarta de 4 con la raíz séptima de 7 hay que elevar ambas cantidades a la potencia 28, con lo que, a primera vista, podría parecer que ya no es tan fácil resolver la cuestión mentalmente; pero, con un poco de ingenio, vemos que, puesto que la raíz cuarta de 4 elevada a la potencia 28 es 4⁷:

4⁷ = 214 = 2⁷ x 2⁷ = 128²

Y como la raíz séptima de 7 elevada a la potencia 28 es 7⁴:

7⁴ = 7² x 7² = 49²

Y puesto que 128 > 49, la raíz cuarta de 4 es mayor que la raíz séptima de 7.

A primera vista, parecería que si m > n, la raíz enésima de n es mayor que la raíz “emésima” de m. ¿Es así siempre?

El tercer problema de la semana pasada es un poco más complicado. Empecemos por elevar ambas expresiones al cuadrado:

(√7 + √10)² = 7 + 10 + 2√70 = 17 + 2√70

(√3 + √19)² = 3 + 19 + 2√57 = 22 + 2√57

Restando 17 de ambas expresiones, tenemos

2√70

5 + 2√57

Y si elevamos ambas expresiones al cuadrado:

(2√70)² = 280

(5 + 2√57)² = 253 + 20√57

Y restando 253 de ambas cantidades tenemos:

27

20√57

Y como √57 > 7, 20√57 > 140, luego:

√3 + √19 > √7 + √10

Y, tras el precalentamiento neuronal, otro un poco más difícil, pero que también se puede resolver mentalmente (o casi):

Si x elevado a la potencia x³ es igual a 3, ¿cuál es el valor de x?

Logaritmos neperianos y decimales

Como vimos la semana pasada, la sexta de las siete operaciones, la radicación, es la inversa de la potenciación, puesto que esta consiste en hallar la potencia a partir de la base y el exponente, y aquella consiste en hallar la base a partir de la potencia y el exponente. Pero hay otra inversa de la potenciación, consistente en hallar el exponente a partir de la base y la potencia, y esta es la séptima operación: la logaritmación. Es decir, hallar la raíz cuadrada de 9 equivale a hallar el número cuyo cuadrado es 9, o sea, a resolver la ecuación x² = 9, mientras que la logaritmación consiste en hallar el exponente conociendo la base y la potencia, es decir, en resolver una ecuación de la forma 3ᵡ = 9.

Dicho de otro modo, el logaritmo de un número n en base b es el exponente x al que hay que elevar la base para obtener el número:

Logaritmo en base b de n = x significa que n = bᵡ

Si la base es 10, los logaritmos se llaman decimales, y los valores 1, 2, 3… se corresponden, obviamente, con las potencias de 10:

log₁₀ 10 = 1, log₁₀ 100 = 2, log₁₀ 1000 = 3…

Los logaritmos fueron introducidos por el matemático escocés John Napier a principios el siglo XVII, con el propósito de simplificar los cálculos convirtiendo las multiplicaciones en sumas y las divisiones en restas con ayuda de unas listas de números con sus logaritmos respectivos, las consabidas tablas de logaritmos (¿puedes explicar por qué los logaritmos permiten convertir las multiplicaciones en sumas?).

Pero Napier no usó el 10 como base de sus logaritmos, llamados logaritmos neperianos, sino el número e (¿qué motivo crees que tuvo para ello?). Los logaritmos decimales, llamados también comunes o vulgares, fueron desarrollados posteriormente por el matemático inglés Henry Briggs.

Si has entendido bien el concepto de logaritmo, no te será difícil contestar estas preguntas:

¿Cuáles son los números cuyos logaritmos decimales están comprendidos entre 0 y 2?

¿Cuál es el logaritmo decimal de 0,01?

Sabiendo que el logaritmo decimal de 3 es 0,477, ¿cuál es el logaritmo decimal de 9? ¿Y el de 30? ¿Y el de 1/3?