Los renos de Papá Noel

La forma de recubrir el tablero de ajedrez con trominós rectos mostrada la semana pasada es única: el recubrimiento de todas las casillas menos una solo es posible dejando libre la de la tercera fila y la tercera columna (o cualquiera de las tres obtenibles mediante giros de 90º, obviamente, es decir, sus simétricas especulares y con respecto al centro). Manuel Amorós aportó la siguiente demostración:

“Cada fila (excepto la 1ª) tiene ocho casillas que deben ser ocupadas, o bien por trominós horizontales o cruzadas por verticales. Como el 8 da resto 2 al dividirlo por 3, el número de trominós verticales que crucen una fila deben dar de resto también 2. Podemos aplicar dicho razonamiento contando la cantidad de trominós verticales que cruzan cada fila y viendo que deben ser congruentes con 2 en módulo 3 (excepto en la fila que haya hueco). En el siguiente dibujo se observa que las condiciones anteriores no son compatibles para un hueco en la primera fila y sí lo son para un hueco en la 3ª; como el razonamiento se aplica en las dos direcciones, se sigue que para que haya solución el hueco debe estar en la 3ª fila y columna”.

En cuanto al clásico del tablero de ajedrez al que le faltan dos esquinas opuestas, recordemos, por si alguien aún no lo conoce, que, al ser del mismo color las esquinas faltantes, es imposible recubrir el tablero con 31 fichas de dominó, ya que cada ficha recubre dos casillas de distinto color, y en el tablero mutilado hay 32 de un color y 30 del otro.

¿Renos o renas?

Puesto que este artículo, salvo error u omisión, se publicará el 24 de diciembre, parece obligado darle un cierto tono navideño. Y pocas cosas resultan tan evocadoras de la Navidad como los renos voladores del trineo de Papá Noel.

Según la tradición, son nueve, y se los (o las, como veremos) conoce internacionalmente por sus nombres en inglés: Rudolph, Dasher, Dancer, Vixen, Prancer, Cupid, Comet, Blitzen y Donner. Pese a estar muy difundida la creencia popular de que cinco son machos y cuatro son hembras (¿cuáles dirías que son los machos?), hay poderosos argumentos zoológicos para pensar que todos son hembras (¿por qué?). De ser así, Rudolph, el de la nariz roja, debería llamarse Rudolpha (nombre que, según algunos, ostenta su supuesta hermana gemela de nariz verde).

Si ignoramos los argumentos zoológicos y damos por buena la proporción cinco-cuatro, y teniendo en cuenta que Rudolph siempre va en cabeza, ¿de cuántas maneras distintas puede formarse el tiro del trineo de Papá Noel de modo que los/as ocho renos restantes siempre vayan emparejados (un macho y una hembra cualesquiera uno al lado de otra)? ¿Y con los cuatro machos a un lado y las cuatro hembras al otro? ¿Y si Rudolph cediera el liderazgo a cualquier otro macho?

Pero vayamos a lo que importa, que no es el reparto de los renos sino el de los juguetes. A la hora de planificar su periplo por las 15 comunidades autónomas peninsulares, visitando una sola vez cada comunidad, ¿entre cuántos itinerarios posibles tendrá que elegir Papá Noel?

Y para subir nota: ¿cuál es el itinerario más corto, si parte de Madrid? ¿Puede acortar el itinerario partiendo de otra comunidad? Para simplificar, y puesto que Papá Noel va volando, consideraremos los itinerarios que unen entre sí las capitales de las respectivas comunidades en línea recta.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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