Solución al desafío matemático de la Lotería de Navidad: un número muy variable de segmentos

Ya hay solución para el desafío matemático con ocasión del Sorteo de la Lotería de Navidad que, un año más, ha propuesto Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.

Recordemos el desafío. Sobre un décimo de lotería, que mide 11 cm de ancho y 6,5 cm de alto, trazamos una línea recta que empiece en la esquina inferior izquierda y llegue hasta el punto situado en el lado derecho y a distancia 3,6 cm desde el borde inferior del décimo. A continuación trasladamos horizontalmente ese punto hasta el lado izquierdo del décimo y, desde este punto trasladado, dibujamos un nuevo segmento paralelo al anterior. Este segmento “se sale” del décimo por el lado superior. Trasladamos el punto de salida verticalmente al lado inferior y trazamos un tercer segmento paralelo. El proceso se repite: si nos salimos del décimo por la derecha nos trasladamos horizontalmente al borde izquierdo del décimo y si nos salimos por arriba nos trasladamos verticalmente al borde inferior. Tras cada traslado trazamos un nuevo segmento paralelo a los anteriores.

El desafío consistía, en primer lugar, en decidir cuántos segmentos habríamos trazado antes de llegar a la esquina superior derecha del décimo. Después había que contestar a la misma pregunta suponiendo ahora que el primer punto que alcanzamos se hubiese situado en el lado derecho, pero a una altura de 3,9 cm desde el borde inferior del décimo.

Las respuestas son que hay que trazar 100 segmentos en el primer caso, pero sólo 7 en el segundo. Veamos por qué.

Cuando tengamos que “salirnos” del décimo, en lugar de eso ponemos al lado un nuevo décimo y seguimos trazando la recta. Esto es equivalente a desplazarse al lado opuesto. Podemos pensar por tanto que tenemos un tapiz de décimos con m filas x n columnas, de modo que el tamaño es mx6,5 cm de alto y nx11 cm de ancho, y lo que hemos hecho es unir las esquinas inferior izquierda y superior derecha del tapiz con una sola recta de pendiente 3,6/11, como muestra (con otros valores) el siguiente dibujo

Para que la recta llegue a la esquina superior derecha, debe ser mx6,5/nx11=3,6/11, es decir, debe ser m/n=3,6/6,5 con m, n enteros lo menores posibles. Se tiene m/n=36/65 y, como 36 y 65 no tienen factores comunes los menores m y n son m=36, n=65.

La pregunta es ahora cuántos décimos habremos atravesado antes de llegar a nuestro destino.

Entramos en un nuevo décimo cada vez que atravesamos una línea horizontal o una línea vertical de las que separan los décimos. Hay m-1 de las primeras y n-1 de las segundas. Si sumamos el décimo en el que trazamos el primer segmento (antes de cruzar ninguna línea), resulta que el total de décimos atravesados, y por tanto el total de segmentos, es (m-1)+(n-1)+1=m+n-1. Hay que observar que nunca antes cruzamos por una esquina porque cuando eso sucede significa que hemos llegado a la esquina superior derecha del décimo.

Como habíamos visto que era m=36, n=65, el número de segmentos trazados es 36+65-1=100.

Si repetimos e mismo razonamiento con el primer punto que se alcanza situado ahora a una altura de 3,9 cm, llegamos a m/n=3,9/6,5=39/65. Pero ahora 39=3x13 y 65=5x13, de modo que m/n=3/5 y el momento en que se llega a la esquina superior derecha corresponde a m=3, n=5, por lo que el número de segmentos trazados habrá sido sólo 3+5-1=7.

Experimentando con más medidas se puede ver lo mucho que varía el número de segmentos: para un primer punto situado a una altura de 3,25 cm se necesitan sólo 2 segmentos; pero si el primer punto se sitúa a 3,26 cm de altura los segmentos necesarios serían 975.

Se han recibido en el plazo marcado unas 300 soluciones, de las que aproximadamente el 60% eran correctas. Muchas de las incorrectas lo son por lo que parecen pequeños despistes. De hecho, el error más frecuente es decir que son necesarios 65 segmentos en el primer caso y 5 en el segundo. Obsérvese que esos son los valores que hemos llamado n en nuestra solución. La lectura de los correos de los lectores que han dado esos valores hace pensar que han encontrado el procedimiento para resolver el desafío, pero se han olvidado de contar los casos en los que el segmento sale del décimo por el borde superior.

Las respuestas correctas se han alcanzado en general con consideraciones del estilo de las nuestras, aunque no siempre coincidentes en los detalles (ha habido, por ejemplo, muchas invocaciones al mínimo común múltiplo). Pero también ha habido lectores que han utilizado otros métodos, incluido escribir programas informáticos para seguir las peripecias del segmento.

Ha sido notable la cantidad de lectores que han acompañado sus soluciones de gráficos de alta calidad. ¡La solución de Alejandro R. G. incluso era un vídeo! Como muestra, presentamos dos gráficos animados, uno de los que ha enviado Álvaro G. H., que muestra cómo van apareciendo los 100 segmentos de la primera parte del desafío.

y el de José Luis P. C., que recoge muy navideñamente la solución a la segunda pregunta.

Algunos lectores han sugerido que hemos disfrazado de geometría un problema aritmético. Tienen algo de razón, pero no toda, porque nuestra forma de resolver el desafío parte implícitamente de considerar una semejanza de triángulos (varios lectores han sido más explícitos y han mencionado el teorema de Tales). Aunque hay otras maneras de presentar la solución, creemos que hacerlo así simplifica la exposición.

Por otra parte, la idea de continuar por la izquierda cuando el segmento se sale por la derecha es equivalente a pegar los dos laterales del décimo, convirtiéndolo en un cilindro. Si después, para evitar salirnos por arriba, pegamos los extremos superior e inferior del cilindro que hemos obtenido (no es nada fácil hacerlo con un décimo de papel, pero usemos la imaginación), obtenemos la figura geométrica que en matemáticas llamamos toro, más conocida como rosquilla.

Nuestro desafío se podía haber planteado por tanto en términos de enrollar un hilo sobre un toro/rosquilla y es el hecho aritmético de que los número 3,6/6,5 y 3,9/6,5 sean racionales lo que hace que las trayectorias geométricas que traza el hilo vuelvan al punto de partida (si hubiésemos situado el primer punto de corte a altura π o raíz cuadrada de 2 nunca habríamos llegado a la esquina superior derecha). Que obtener trayectorias cerradas en el toro esté relacionado con la racionalidad de un número es uno de esos fascinantes misterios de las matemáticas.

Tres de los autores de soluciones totalmente correctas recibirán, por cortesía de la RSME, sendos ejemplares del libro ¡Resuélvelo! Retos lúdicos para curiosos de las matemáticas, de James S. Tanton, que forma parte de la Biblioteca Estímulos Matemáticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM. Son Ana y José Luis T. (que por haber enviado una solución conjunta tendrán que compartir el libro), Ángela V. B. y Guillermo C.

Confío en que el desafío haya sido un entretenimiento agradable en estos tiempos difíciles. Para mí, la entusiasta respuesta y los ánimos que los lectores transmitían en sus mensajes han compensado el esfuerzo de mantener esta tradición en un año en el que otras, por desgracia, tendrán que quedar en suspenso. ¡Muchas gracias! En nombre de EL PAÍS, de la RSME y en el mío propio, os deseo felices fiestas, aunque sean singulares, suerte mañana con la lotería y, sobre todo, salud.