¿Es tan raro el caso de los números repetidos de la Bonoloto?

El pasado 11 de marzo la combinación premiada en la Bonoloto resultó ser casi idéntica a la que se había obtenido tan solo dos días antes, el 9 de marzo. Se repitieron los números del primer sorteo: 08, 21, 23, 40, 43, 47… A excepción del 43, que pasó a ser un 28. También se repitieron el complementario (26) y el reintegro (7). Esta coincidencia hizo que saltaran todas las alarmas y comenzaron las acusaciones sobre la posible manipulación del sorteo. Pero ¿realmente es tan extraño lo que ha sucedido?

La bonoloto es un sorteo donde los posibles resultados se cuentan por millones y la probabilidad de acertar una combinación de las seis cifras es muy pequeña, mucho menor que la de ganar en la Lotería de Navidad: de una cada 13.983.816 veces o una probabilidad del 0,0000000715 o un 0,00000715%, dependiendo de cómo lo queramos expresar.

Estas cifras nos dan la medida de la incertidumbre sobre la ocurrencia de un evento. Si usamos la expresión entre 0 y 1, 0 indica que el evento es imposible y 1 que el suceso ocurrirá seguro. El porcentaje muestra el número de veces que el suceso ocurrirá si la situación se repitiese 100 veces. Esta última interpretación se conoce como frecuentista.

En los sorteos como la Bonoloto, cada nueva repetición es completamente independiente del resto. Esto implica que el sorteo no tiene memoria y que cada vez que se hace la extracción de los números, una combinación concreta tiene la misma probabilidad de salir. Quizás nos habría sorprendido menos si en lugar de salir los mismos números hubiesen salido los consecutivos de todos ellos —09, 22, 24, 41, 44 y 48—; o si hubiese salido una combinación de números donde todos fuesen pares, o todos fuesen primos… Esto sucede por algo llamado “la falacia del jugador”, un sesgo cognitivo que nos hace pensar que aquello que acaba de pasar es más difícil que vuelva a suceder.

La falacia del jugador es un sesgo cognitivo que nos hace pensar que aquello que acaba de pasar es más difícil que vuelva a suceder

También es verdad que seguramente, cuando nos sorprende tanto este resultado es porque lo estamos interpretando de otra forma. Si comparamos la probabilidad de que saliese ese número —en general— con la probabilidad de que saliese cualquier otro número, evidentemente gana la segunda. Porque que saliese cualquier otro número acumula la probabilidad de todos los valores, menos el que está en cuestión y esa probabilidad es muy grande. En concreto 1 menos la probabilidad de una combinación, lo que es prácticamente 1. Así, que sí, visto así, era más probable que saliese cualquier otro número que el que ha salido. Pero eso, de nuevo, vale para cualquier combinación.

Podríamos preguntarnos cómo puede ser que haya pasado tan seguido en el tiempo. Según las leyes de la probabilidad, ¿cuántos sorteos tienen que sucederse para que volvamos a ver un número que ya ha salido? Una simplificación muy burda de esto sería lanzar una moneda y pensar en cuantas veces tendría que lanzarla para que volviese a salir cara.

Teniendo en cuenta la probabilidad de una extracción concreta, el tiempo medio que debemos esperar para observar un valor, uno en concreto, sea el que sea, es de 13.983.816 sorteos. Nada sorprendente, teniendo en cuenta que ese es el número de posibles combinaciones.

Era más probable que saliese cualquier otro número, pero eso vale para cualquier combinación

Parece un montón de tiempo, ¿no? Entonces sí que es raro que haya pasado tan seguido… Pues de nuevo, la respuesta es que no tanto. Porque cuando damos la media de una variable, también conocida en probabilidad como el valor esperado, nuestra mente se hace a la idea de que la repetición se producirá cada cierto número de sorteos y solo entonces. Es decir, pensamos que el número de repeticiones se sitúa alrededor de ese número de manera muy probable y los valores alejados de ese intervalo de tiempo, son muy poco probables.

Sin embargo, esto no es cierto en este caso, puesto que el tiempo entre repeticiones puede tomar cualquier valor con una probabilidad muy baja. De hecho, aunque su media sea una cifra concreta, los valores bajos —es decir, los tiempos cortos entre repeticiones— tienen algo más de probabilidad que aquellos más altos, aunque, en todos los casos, la probabilidad es muy pequeña.

En definitiva, el evento era raro, sí, pero como cualquier otro evento, cualquier otra combinación y en cualquier otro momento. Esto, unido a la idea de que la explicación más simple es siempre la correcta, me lleva a creer que el amaño del sorteo no es la posibilidad más factible.

Anabel Forte es profesora titular de la Universidad de Valencia

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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