D’Alembert y el cálculo de probabilidades

Con su absurda ley procreativa, el rey machista de la semana pasada solo consiguió reducir drásticamente el número de sus súbditos, pero la proporción de hombres y mujeres siguió siendo la misma. Consideremos una muestra de 100 parejas que empiezan a procrear: entre sus primogénitos habrá aproximadamente 50 niños y 50 niñas; los progenitores de las segundas ya no podrán tener más descendencia; pero las otras 50 parejas, suponiendo que todas sigan procreando, tendrán aproximadamente 25 segundogénitos niños y 25 niñas, y así sucesiva e ¿indefinidamente? No: en principio, solo 12 o 13 parejas tendrán un tercer vástago, solo 6 o 7 tendrán un cuarto, solo 3 o 4 un quinto, solo 1 o 2 un sexto, y puede que ninguna un séptimo. Cada “remesa” de vástagos será la mitad de la anterior (y pronto se llegará a la tasa de natalidad cero), pero en todas ellas habrá aproximadamente el mismo número de niños que de niñas.

A pesar de su sencillez, el problema suscitó un amplio debate, en el marco del cual Juan José Rodríguez trajo a colación las críticas de d’Alembert a la teoría de probabilidades convencional, que, según él, no prestaba la debida atención a la experiencia al formular sus supuestos y sus definiciones. Lo cual, dicho sea de paso, hace más difícil de entender que el gran matemático y enciclopedista francés estimara, erróneamente, que la probabilidad de sacar al menos una cara al lanzar dos monedas al aire es 2/3. ¿Cuál es la probabilidad real y qué razonamiento engañoso conduce al valor 2/3? Curiosamente, esta estimación errónea es un claro exponente de esa falta de atención a las situaciones reales que el propio d’Alembert criticaba.

Un ejemplo de lo complicado que puede ser a veces formular adecuadamente un problema de probabilidades lo encontramos en la paradoja de Bertrand (no me refiero a su famosa paradoja económica relativa al equilibrio de Nash, sino a la probabilística, de la que ya nos ocupamos hace unos años):

¿Cuál es la probabilidad de que una cuerda trazada al azar en una circunferencia sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en ella? Según como se aborde el problema, podemos llegar a distintas respuestas: 1/2, 1/3, 1/4…, e invito a mis sagaces lectoras/es a reconstruir los razonamientos que pueden llevarnos a estos u otros valores. Por ejemplo, ¿cuál de las anteriores estimaciones sugiere la figura adjunta y por qué?

El hagadá de los caminantes sudorosos

La tradición oral nos ofrece numerosos e instructivos ejemplos de planteamientos erróneos, insuficientes, engañosos o inverosímiles. En esta línea, un conocido hagadá (cuento o fábula con moraleja de la tradición hebrea) habla de dos caminantes que -según le refiere un rabino a su discípulo- en un caluroso día de verano van por un sendero polvoriento. Por fin encuentran una fuente donde calmar su sed. Uno de los caminantes tiene el rostro sucio de sudor y polvo, mientras que el otro lo tiene seco y limpio. ¿Cuál de los dos se lava la cara?, pregunta el rabino.

La respuesta ingenua es que se lava la cara el que la tiene sucia. La respuesta ingeniosa es que se la lava el que la tiene limpia, pues cada uno ve el rostro de su compañero y no el propio, por lo que el que está limpio cree que él también está sucio y viceversa. Pero ¿cuál sería la respuesta realista, en la línea crítica de d’Alembert (y del rabino del hagadá)?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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