Cribas

Veíamos la semana pasada que el matemático chino Chen Jingrun demostró el teorema que lleva su nombre utilizando la teoría de cribas, un poderoso método que se remonta, por lo menos, al siglo III a. C.

En efecto, la más famosa de las cribas numéricas es la de Eratóstenes (276-194 a. EC.), un sencillo algoritmo (del tipo “la cuenta de la vieja”) para hallar los primos menores que un determinado número natural n. Se escriben los números comprendidos entre 2 y n y se van tachando los que no son primos en pasos sucesivos: se empieza por el 2 y se tachan todos sus múltiplos (o sea, todos los pares); se vuelve al comienzo de la lista y el primer número no tachado, el 3, es primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, y así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del último primo así encontrado es mayor que n.

Busquemos, por ejemplo, los primos menores que 20. Listamos los números del 2 al 20 y marcamos los múltiplos de 2:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

El primer número no marcado es el 3, así que se marcan sus múltiplos:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

El siguiente número no marcado es el 5, y como su cuadrado es mayor que 20, el proceso ha terminado y los primos son los números no marcados:

2 3 5 7 11 13 17 19

El proceso, un tanto engorroso si la lista de números es larga, se puede simplificar (¿de qué manera?).

Como anécdota (y dato de interés para programadores), la versión informática de la criba de Eratóstenes se convertiría en un método estándar para comparar la eficacia de diferentes lenguajes de programación.

Más aún que por su criba, Eratóstenes es famoso por su cálculo, notablemente preciso, del diámetro de la Tierra, así como por convertir la geografía y la geodesia en disciplinas con entidad y métodos propios, introduciendo procedimientos y terminologías que aún se siguen utilizando. Pero ese es otro artículo.

Otras cribas

En la estela de Eratóstenes, otras cribas (demasiado avanzadas para tratarlas aquí, aunque su fundamento matemático es relativamente simple), como la de Euler, la de Legendre, la de Brun, la de Selberg o el denominado “cribado grande”, han permitido conseguir algunos éxitos parciales en la desesperante tarea de abordar la conjetura de Goldbach. Como el teorema de Bombieri-Friedlander-Iwaniec, que demuestra que hay infinitos números primos de la forma a² + b⁴, siendo a y b números enteros y positivos no necesariamente distintos (invito a mis sagaces lectoras/es a hacer la lista de los primeros primos de este tipo y sacar alguna conclusión). Y Chen Jingrun, que, como vimos, demostró que todo número par lo suficientemente grande es la suma de dos primos o de un primo y un semiprimo. A su vez demostró que existen infinitos primos p tales que p+2 es primo o semiprimo, un importante paso hacia la demostración de la conjetura de los números primos gemelos, según la cual hay infinitas parejas de ellos.

A mediados del siglo XIX, el matemático francés Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural n, existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2n. En el caso de n = 1, tenemos la conjetura de los números primos gemelos. ¿Puedes hallar algunos pares de primos para n = 2, 3, 4…?

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