Combinatoria del Set y sus variantes

Parece ser que el Set, el juego combinatorio de inspiración genética que vimos la semana pasada, ha despertado el interés de mis sagaces lectoras/es, por lo que no está de más volver sobre él.

Es fácil ver que el juego ha de constar de 81 cartas diferentes, puesto que todas poseen 4 características (forma, fondo, color y número), con 3 posibilidades distintas para cada una de ellas (óvalo, onda o rombo; sólido, rayado o sin fondo; rojo, morado o verde; una, dos o tres figuras); por lo tanto, el número de combinaciones posibles será 3x3x3x3 = 81.

¿Y cuántos sets distintos podemos formar con estas 81 cartas? No es difícil ver que para cualquier pareja de cartas hay una y solo una carta que forma un set con ellas dos, pues, para cada una de las 4 características, su relación en las dos primeras cartas determina unívocamente cómo ha de ser dicha característica en la tercera: si las dos primeras cartas son rombos, también ha de serlo la tercera; si una es roja y la otra verde, la tercera ha de ser morada… Por lo tanto, el número de sets será el de parejas distintas dividido por 3 (ya que los sets ab+c, ac+b y bc+a son el mismo, siendo a, b y c tres cartas cualesquiera), o sea, 81x80/6 = 1080.

El juego comienza colocando 12 cartas boca arriba sobre la mesa, y el primer jugador que ve un grupo de 3 que forman un conjunto acorde con las reglas dice “set” y se las lleva, y se ponen 3 cartas más sobre la mesa. Si ningún jugador ve la posibilidad de hacer un set a partir de las 12 cartas, se ponen sobre la mesa 3 más. Pero es poco probable que eso ocurra, y muy poco probable que siga ocurriendo con 15. Concretamente, la probabilidad de que entre 12 cartas no haya ningún set es del 3,23 %, y la probabilidad de que, tras poner 3 cartas más sobre la mesa, siga sin haber ningún set entre las 15 es del 1,14 % (que yo sepa, no hay una fórmula sencilla que dé estos resultados, hallados mediante programas informáticos ad hoc).

Tras lo cual, someto a la consideración de mis sagaces lectoras/es otras interesantes cuestiones combinatorias relacionadas con este juego:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 cartas sacadas al azar forman un set?

2. ¿Con cuántos conjuntos distintos de 12 cartas puede comenzar una partida?

3. ¿Cuántos sets habrá, por término medio, en un grupo de 12 cartas?

4. ¿Cuál es el máximo número de cartas que puede haber sobre la mesa sin que entre ellas haya set alguno? (En este caso no pido una demostración rigurosa, sino una estimación “fermiana”).

Set generalizado

La creadora del Set, la genetista Marsha J. Falco, también comercializó una versión simplificada del juego en la que en vez de 4 características solo se contemplan 3: forma, color y número de figuras, con lo que el número de cartas desciende de 81 a 27 (3x3x3). ¿Cuál es, en este caso, la probabilidad de que 3 cartas sacadas al azar formen un set?

Pero a los matemáticos les gusta complicar las cosas (lo llaman “generalizar”), y han estudiado la combinatoria de hipotéticos juegos con n características y, por tanto, 3ⁿ cartas. Entre otras cosas, se han planteado la generalización de la cuarta cuestión antes planteada: ¿Cuál es el mayor número de cartas que se pueden poner sobre la mesa, en un juego generalizado de n características, sin que entre ellas haya set alguno?

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