El sistema diédrico

Nuestro comentarista histórico Francisco Montesinos, que por un problema técnico había quedado marginado de la sección de comentarios durante un tiempo, vuelve con una demostración del teorema de Napoleón, del que hablábamos la semana pasada:

“Sea ABC un triángulo cualquiera, D, E, F los terceros vértices de los triángulos equiláteros construidos respectivamente sobre cada lado y M, N, P sus centros respectivos. Como M = A + D + B/3, N = B + E + C/3 y P = A + C + F/3 es fácil ver con algo de paciencia que (P – M)e^i(pi/3) = N – M, lo cual demuestra el teorema. Para demostrar la segunda parte basta observar que M + N + P = A + B + C y dividir por 3 ambos términos, lo cual es consecuencia inmediata de que también E + F + D = A + B + C. Yo me he situado en un plano afín, que como se sabe es un espacio de puntos del plano asociado a un espacio vectorial. Aunque la belleza de la demostración geométrica del teorema es inigualable, esta que propongo creo que no le va muy a la zaga por su alcance dentro de su simplicidad”.

El sistema Monge

Adelaida López señaló oportunamente que entre los matemáticos con los que se relacionaba Napoleón no se puede dejar de mencionar a Gaspard Monge, uno de los padres de la geometría descriptiva y creador del sistema diédrico (también conocido, en su honor, como sistema Monge), que desarrolló en su influyente libro Géometrie descriptive, publicado en 1799. Monge también es conocido, sobre todo entre los economistas, por sus importantes contribuciones a la resolución de problemas de optimización (pero ese es otro artículo).

El sistema diédrico, fundamental en el dibujo técnico, consiste en representar un objeto tridimensional mediante sus proyecciones ortogonales sobre planos que se cortan perpendicularmente. Normalmente, se muestran el alzado o vista fontal, la planta o vista cenital y el perfil o vista lateral, aunque a veces basta con dos vistas (los temibles “monos” de los exámenes de ingeniería). Invito a mis sagaces lectoras/es a reconstruir mentalmente (o con lápiz y papel) los objetos cuyas proyecciones ortogonales se muestran a continuación (las líneas de puntos representan aristas ocultas).

Y, para nota, un “mono oral” (la sencilla descripción hace innecesario el dibujo) tomado de un examen de hace sesenta años de la Escuela de Ingenieros Industriales de Madrid:

El alzado (vista frontal) de un objeto es un círculo, y su planta (vista cenital) es un cuadrado de lado igual al diámetro del círculo con sus dos diagonales. ¿Qué objeto es?

La retirada de Napoleón

Es bien sabido que una partida de ajedrez es la esquematización de una batalla; pero en el caso del final artístico de la semana pasada, el autor va un paso más allá, pues representa una contienda real. El rey negro es Napoleón. La casilla b1 es Moscú. La diagonal h1-a8 es el río Berézina. La casilla h8 es París. Los caballos blancos representan la caballería cosaca. La dama en h1 es el mariscal Mijaíl Ilariónovich Goleníshchev-Kutúzov. El rey blanco es el zar Alejandro I. Y hay un mate en 14 jugadas que se corresponden con las 14 jornadas de la retirada de Napoleón hasta llegar a París:

1. Cd2+, Ra2

2. Cc3+, Ra3

3. Cdb1+, Rb4

4. Ca2+, Rb5

5. Ca3+, Ra6

6. Cb4+, Ra7

7. Cb5+, Rb8

8. Ca6+, Rc8

9. Ca7+, Rd7

10. Cb8+, Re7

11. Cc8+, Rf8

12. Cd7+, Rg8

13. Ce7+, Rh8

14. Rg2++

Las blancas pueden dar mate en menos jugadas (¿cómo?), pero de este modo solo utilizan la caballería y rinden homenaje a la memorable victoria rusa de 1812 en 14 jornadas.

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