Polinomios para construir edificios seguros

Empiezan las clases, y los estudiantes se enfrentan un año más a las matemáticas escolares. Dentro del álgebra que se estudia en el instituto un lugar destacado lo tienen los polinomios. ¿Qué es un polinomio? ¿Cuál es su grado? ¿Para qué valores de las variables el polinomio vale cero (estos puntos se llaman raíces del polinomio)? En la escuela se aprende muchísima teoría, pero pocas aplicaciones prácticas. Sin embargo, el estudio de polinomios, y en concreto, la obtención de sus raíces, se aplica en numerosos campos y, aunque son objetos sencillos de describir, muchos investigadores en todo el mundo trabajan en su cómputo.

Podemos encontrar las raíces de polinomios en las teclas de un piano. Al pulsar una tecla se activa un martillo que golpea una cuerda que vibra a determinada frecuencia (velocidad), que es la que define la nota. Esta frecuencia es un número, y, de hecho, es la raíz de un polinomio que se define a partir de las características de la cuerda. Esto mismo sucede en cualquier instrumento, y a cualquier objeto que vibra.

Cuando un terremoto sacude un edificio, lo hace vibrar; también cuando un avión se encuentra con turbulencias. Además de emitir una nota, se produce un efecto llamado resonancia, que puede llegar a ser destructivo. Así sucedió con el puente de Tacoma Narrows en 1940. Un fuerte viento sopló a la velocidad justa (la frecuencia de resonancia del puente), haciendo que el puente se agitara fuertemente, aunque es posible que no fuera la causa final de su colapso. Actualmente las estructuras están diseñadas para que sus notas de resonancia sean difíciles de reproducir en la naturaleza, por lo que este tipo de fenómenos son muy poco probables. Los ingenieros utilizan, de esta manera, el cálculo de raíces de polinomios.

Otra aplicación muy común es la optimización. Esta técnica matemática permite usar de forma eficiente recursos escasos como el tiempo, la energía o el dinero, siguiendo determinados objetivos. Las compañías la emplean, por ejemplo, para decidir si es mejor gastar más dinero en contratar más empleados, remodelar la oficina, comprar más productos que luego se vayan a vender, o dejarlo en el banco. Para poder establecer la estrategia óptima se resuelven, con ayuda de un ordenador, una serie de ecuaciones que reflejan cuanta inversión y cuanto beneficio se asocia a cada acción. Las estrategias óptimas se corresponden habitualmente con las raíces de las ecuaciones escritas.

Actualmente las estructuras están diseñadas para que sus notas de resonancia sean difíciles de reproducir en la naturaleza

Sin embargo, el cálculo de las raíces no es siempre sencillo, y los matemáticos llevan siglos dedicados a este problema. Hay dos resultados clave sobre ello. El primero es el Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que todo polinomio de grado n (el mayor de los exponentes de la variable) tiene n raíces, algunas de ellas pueden ser múltiples, en el mundo de los números complejos. De esta manera, sabemos exactamente cuántas raíces debemos buscar. El segundo resultado es el llamado Teorema de Abel, que afirma que no hay una fórmula general, que implique únicamente las operaciones básicas, para obtener las raíces de los polinomios de grado cinco o mayor. Esto significa que en general, a partir de grado cinco, no es posible calcular las raíces de forma exacta mediante una fórmula de este tipo, solo aproximaciones.

Lo cierto es que en las aplicaciones los polinomios suelen tener grados mucho mayor que cinco, por lo que se deben emplear aproximaciones, que han de ser lo suficientemente buenas. Ya los babilónicos hacían aproximaciones mediantes métodos simples e ingeniosos. Sin embargo, tuvieron que pasar miles de años para que Isaac Newton desarrollara la primera fórmula para aproximar raíces de polinomios de cualquier grado. Newton lo propuso en 1669, y hasta la década de 1960 siguió vigente, debido a su simplicidad y eficacia. Entonces, después de la Segunda Guerra Mundial, la proliferación de los ordenadores supuso un cambio drástico. Los cálculos tediosos requeridos para las aproximaciones se pudieron automatizar y ejecutar en una breve fracción de tiempo. Con esta nueva tecnología nació una nueva área de investigación conocida como análisis numérico, cuyo objetivo inicial era diseñar programas de ordenador para calcular aproximaciones de las raíces de polinomios.

En la segunda mitad del siglo XX, el análisis numérico siguió creciendo, y fueron apareciendo diferentes fórmulas para calcular raíces de polinomios. La mayoría se obtenía a partir de viejas ideas, como la de Newton, convenientemente modificadas para poder ser resueltas de forma eficiente con un ordenador. Cada método tiene sus pros y sus contras. Por ejemplo, el método de Frobenius de matrices compañeras da muy buenas aproximaciones pero supone más trabajo de computación que otras técnicas, y la situación empeora cuando crece el grado del polinomio. Matemáticos e ingenieros se dieron cuenta de que podría mejorarse el método utilizando ciertas características de los polinomios. Yo trabajé, junto a otros matemáticos, para proponer un perfeccionamiento que disminuye significativamente el tiempo de cálculo y mejora la precisión, que ha sido reconocido como uno de los mejores métodos para calcular raíces de polinomios por la Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada estadounidense. Gracias a estos avances conseguimos métodos cada vez más sencillos y eficaces para calcular las raíces de los polinomios y, con ellas, entre otras cosas, diseñar mejores edificios y obtener mejores soluciones para la distribución de recursos.

Jared Aurentz es investigador postdoctoral Severo Ochoa en el ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.