David Hilbert y la defensa del rigor matemático

El 14 de febrero de 1943 fallecía en Gotinga (Alemania) David Hilbert, a los 81 años de edad. Al funeral del que fuera uno de los más importantes matemáticos de la primera mitad del siglo XX apenas asistieron una docena de amigos. En su lápida se grabó una de sus frases favoritas: Wir Müssen wissen. Wir werden wissen (Debemos saber. ¡Sabremos!). Esta cita refleja la visión que tenía Hilbert de su disciplina: confiaba en que todo problema matemático admitía una respuesta, bien mediante una prueba rigurosa de su solución o bien con la demostración de la imposibilidad de la misma.

El impacto de Hilbert en la ciencia fue inmenso, realizó importantísimas contribuciones en áreas como teoría de números, geometría algebraica, ecuaciones integrales, análisis funcional, física matemática, etcétera. Eso le permitió tener una visión casi universal de las matemáticas de su tiempo y así, enunciar, en 1900, una lista de 23 problemas que en su opinión debían centrar la atención de los matemáticos del siglo XX. Desde entonces, esa lista motivó gran parte de la investigación matemática de los siguientes 50 años.

Más información

100 años del espacio de Hilbert

Un mecenas ofrece 1.300 millones por resolver los siete enigmas matemáticos del siglo

Además, para resolver muchos de los problemas a los que se enfrentó, Hilbert construyó nuevos marcos teóricos en los que desarrollar las herramientas adecuadas, generando campos de investigación hasta entonces insospechados. Esta manera absolutamente novedosa de abordar los problemas le produjo numerosos sinsabores al principio de su carrera. El matemático Paul Gordan dijo sobre su famosa demostración del problema de los invariantes algebraicos que aquello “no eran matemáticas, sino teología” cuando, a finales de 1888, lo evaluó para la Revista Mathematische Annalen. Afortunadamente, Felix Klein, el editor jefe, decidió seguir adelante con la publicación, lo que convirtió a Hilbert en uno de los matemáticos más importantes del momento.

Hilbert siempre se dedicó a buscar el rigor y los principios generales de razonamiento, e hizo importantes contribuciones sobre los fundamentos de las matemáticas. En 1899 sorprendió al mundo con la publicación de un libro, Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la Geometría), en el que planteaba un nuevo sistema de 20 axiomas para remediar las grietas que se habían detectado en el majestuoso edificio construido por Euclides alrededor del 300 a. C. Además, Hilbert estudió el problema de la independencia de los axiomas y el de la consistencia, o no contradicción, de los mismos. Estas ideas influyeron decisivamente en la matemática posterior e hicieron de los Grundlagen un éxito mundial, rápidamente traducido a otros idiomas.

En 1917 Hilbert retomó su cruzada a favor del rigor matemático, motivado por la creciente aceptación de las teorías de la escuela intuicionista, que llegaban a rechazar el principio lógico que afirma que cualquier proposición o bien es verdadera o lo es su negación. Ello iba contra la idea de Hilbert de que todo problema matemático tiene solución, por lo que se dedicó intensamente a reparar la tremenda mutilación que, a su juicio, supondría la aceptación de las tesis intuicionistas. Y así propuso un programa que permitía “eliminar de manera definitiva cualquier duda sobre la confiabilidad de la inferencia matemática”, utilizando métodos totalmente finitarios. Hacia 1930 el Programa de Hilbert parecía bien encaminado, y entre otros éxitos se había podido demostrar la consistencia (absoluta) de la aritmética de los números naturales con la adición (aunque no con la multiplicación). Sin embargo, al año siguiente, un joven docente de la Universidad de Viena, Kurt Gödel, acabó con la esperanza de Hilbert, al enunciar su famoso “Teorema de la Incompletitud”. Este afirma que todo sistema formal consistente y que contenga a la aritmética, incluye enunciados legítimos del sistema que son indecidibles, es decir, que ni su afirmación ni su negación son demostrables en el sistema.

Estos resultados supusieron un golpe demoledor para el programa de Hilbert: la matemática clásica podía ser consistente (y probablemente lo era), pero esta consistencia no podía demostrarse por los métodos que había propuesto. La confianza ilimitada de Hilbert en el poder del pensamiento humano le hizo seguir buscando soluciones para remendar su programa, y aunque no consiguió alcanzar su objetivo final de fundamentar sólidamente las matemáticas, muchas de las líneas actuales de investigación sobre lógica matemática, teoría de la demostración y matemática inversa son, de alguna manera, continuaciones del programa original de Hilbert.

Más allá de su extenso legado, Hilbert dejó tras él una nutrida escuela, ya que dirigió 69 tesis doctorales. Supo contagiar a sus mejores estudiantes su entusiasmo y pasión por las matemáticas, como contaba uno de ellos, Hermann Weyl: “Me parece escuchar todavía el dulce sonido de la flauta del encantador flautista que era Hilbert, seduciéndonos como a ratas para seguirle al profundo río de las matemáticas…”.

Fernando Bombal es profesor emérito de la Universidad Complutense de Madrid y miembro de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.